ルベーグ積分
===============
.. raw:: html
本ポストは測度論的確率論に関する個人的な定義・定理のまとめ(`ゼミ `__\ ならおそらく暗唱しなければならない事項．ただし厳密性は重視しない．)．
主に、吉田洋一先生の「ルベグ積分入門」( [1]_)を参考にして作成されている．
[2]_をもとにしたpdfのテキスト( [3]_)があるので、そちらも適宜参考にしたい．
また，途中に確率論の定義を伊藤清先生の確率論をもとに入れる予定 [4]_．
最後に、私自身の解釈も含まれているためことを注意されたい(後にアップデートされる)．
1. 外測度、ルベーグ測度
-----------------------
1.1 外測度 (Outer measure)
.. math:: m^{\ast}(A)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
まずは一次元の測度を議論する．
外測度は次の５つの条件を満たすように定義する(P. 83)，
.. math::
\begin{equation}
0 \leq m^{\ast}(A) \leq +\infty
\label{eq:11}\tag{C1}
\end{equation}
.. math::
\begin{equation}
A \subseteq B \text{ならば} m^{\ast}(A) \leqq m^{\ast}(B)
\label{eq:12}\tag{C2}
\end{equation}
.. math::
\begin{equation}
m^{\ast}\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}\right) \leq \sum_{i=1}^{\infty} m^{\ast}\left(A_{i}\right)
\label{eq:13}\tag{C3}
\end{equation}
.. math::
\begin{equation}
m^{\ast}([a,b)) = b-a
\label{eq:14}\tag{C4}
\end{equation}
.. math::
\begin{equation}
\text{点集合AとBが合同ならば} m^{\ast}(A) = m^{\ast}(B)
\label{eq:15}\tag{C5}
\end{equation}
注意点として，Eq.
.. math:: \eqref{eq:13}
\ で直和であることを要求しないことがある．
「なるべく広い範囲の点集合」を考えたい．
ここで，外測度を次のように定義すると上記５つの条件が満たせる．
半開区間の列，
.. math:: \left \{ I_{1},... I_{n},... \right\}
に対して，
.. math::
\begin{equation}
m^{\ast}(A):=\inf \left\{ \sum_{n=1}^{\infty} \left|I_{n}\right| : A \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty} I_{n} \right \}
\label{eq:16}\tag{1.1}
\end{equation}
1.2. 可測集合 (P.96)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Aを決まった点集合とする．
.. math:: B \subseteq A
\ および\
.. math:: B' \subseteq A^{c}
であればいつでも，
.. math::
\begin{equation}
m^{\ast}(B \cup B') = m^{\ast}(B) + m^{\ast}(B')
\label{eq:17}\tag{1.2}
\end{equation}
が成立するとき，\
.. math:: A
\ はルベグ可測であるという．
同値な条件として，
.. math:: X
\ を任意の点集合とする時，\
.. math:: A
\ が可測であることは，
.. math::
\begin{equation}
m^{\ast}(B)=m^{\ast}(B \cap A)+m^{\ast}\left(B \cap A^{c}\right)
\label{eq:18}\tag{1.3}
\end{equation}
が成立することである． (Eq.
.. math:: \eqref{eq:18}
\ で\
.. math:: B=X\cap A, B'= X\cap A^{c}
\ とおく)
可測集合の例を残しておく
1.2.1 可測集合族
~~~~~~~~~~~~~~~~
.. math::
\begin{equation}
\phi \in \mathcal{M}
\label{eq:121}\tag{M1}
\end{equation}
.. math::
\begin{equation}
A \in \mathcal{M} \Longrightarrow A^{c} \in \mathcal{M}
\label{eq:122}\tag{M2}
\end{equation}
.. math::
\begin{equation}
A_{n} \in \mathcal{M} \text{ } (n=1,2,...) \text{ならば，} \bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i} \in \mathcal{M}
\label{eq:123}\tag{M3}
\end{equation}
可測集合に限らない時，一般に\ **加法的集合族**\ と呼ぶ．
.. math::
\begin{equation}
G\text{が開集合ならば，} G \in \mathcal{M}
\label{eq:124}\tag{M4}
\end{equation}
さらに可測集合の場合は次が成り立つ．
例．ボレル集合族
.. math:: \eqref{eq:121}, \eqref{eq:122},\eqref{eq:123},\eqref{eq:124}
\ を満たすあらゆる集合を考え，その交わり(=“最小”のもの)をとった集合族\
.. math:: \mathcal{B}
．
1.3. ルベグ測度
~~~~~~~~~~~~~~~
.. math:: A
\ が可測であるとき，
.. math::
\begin{equation}
m(A) = m^{\ast}(A)
\end{equation}
このとき，\
.. math:: m(A)
\ を\
.. math:: A
\ のルベグ測度と呼ぶ．
.. math:: m(A)
\ は次の条件を満たす．
.. math::
\begin{equation}
0 \leq m(A) \leq +\infty
\label{eq:131}\tag{L1}
\end{equation}
.. math::
\begin{equation}
m\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}\right) \leq \sum_{i=1}^{\infty} m\left(A_{i}\right)
\label{eq:132}\tag{L2}
\end{equation}
.. math::
\begin{equation}
m([a,b)) = b-a
\label{eq:133}\tag{L3}
\end{equation}
.. math::
\begin{equation}
\text{点集合AとBが合同ならば} m(A) = m(B)
\label{eq:134}\tag{L4}
\end{equation}
外測度が満たすEq.
.. math:: \eqref{eq:12}
\ について記述がない．
2. 可測関数
-----------
2.1. 可測関数と連続関数との関連性
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
.. math:: f
\ が可測集合\
.. math:: A
\ を定義域とする関数のとき，どの実数\
.. math:: c
\ に対しても，
.. math::
\begin{equation}
A(f(x) > c) = \{ x | x \in A, f(x) > c \}
\end{equation}
が可測であるとき\ **
.. math:: f
\ は\
.. math:: A
\ で可測な関数**\ ．
2.2. 確率論の準備
~~~~~~~~~~~~~~~~~
この段階でいくつか確率論の準備ができる． \* 確率測度
- 確率変数の定義
.. math:: (\Omega,\mathcal{A},P)
\ を確率空間として 扱いづらい可測空間から扱いやすい可測空間への写像
- 確率分布の定義
3. ルベグ積分
-------------
正値単関数で定理を各種導出し，それらをもとに，正値関数の定理を導出する(正値関数が導出できれば，一般の関数についても導出可能)．
.. math::
\begin{equation}
A=A_{1} \cup A_{2} \cup \cdots \cup A_{k} (i \neq j \text{ then}, A_{i} \cap A_{j}=\varnothing )
\end{equation}
.. math::
\begin{equation}
a_{i}=\inf \left\{f(x) | x \in A_{i}\right\} \quad(i=1,2, \cdots, k)
\end{equation}
.. math::
\begin{equation}
\mathrm{s}=a_{1} m\left(A_{1}\right)+a_{2} m\left(A_{2}\right)+\cdots+a_{k} m\left(A_{k}\right)
\end{equation}
.. math:: \mathcal{s}
\ を\
.. math:: f
\ の\
.. math:: A
\ における近似和と呼ぶ．
.. math:: A
\ のあらゆる分割\
.. math:: \left\{A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{k}\right\}
\ について近似和をつくる． これらの集合を\
.. math:: \langle \mathcal{s} \rangle
\ と表す．
ここでルベーグ積分の定義は，
.. math::
\begin{equation}
\int_{A} f(x) d x=\sup \langle \mathcal{s}\rangle
\end{equation}
である．
3.x 単調収束定理
~~~~~~~~~~~~~~~~
3.2 Fatouの定理 (P. 168)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
.. math::
\begin{equation}
\int_{A} \displaystyle \varliminf_{n} f_{n} (x) dx \leqq \displaystyle \varliminf_{n} \int_{A} f_{n}(x) dx
\end{equation}
3.3 Lebesgue の項別積分定理
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
3.y ルベグ積分とリーマン積分との関係
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
どういった状況で積分可能か？の例
4. 測度空間、ルベーグ＝スティルチェス積分
-----------------------------------------
`Black-Scholes post <%7B%7B%20site.baseurl%20%7D%7D/Black-Scholes>`__
.. [1]
`ルベグ積分入門 `__
.. [2]
`ルベグ積分入門 `__
.. [3]
`ルベーグ積分の基礎のキソ `__
.. [4]
`確率論(岩波書店) `__