1. 外測度、ルベーグ測度
1.1 外測度 (Outer measure)
\[m^{\ast}(A)\]
まずは一次元の測度を議論する．
外測度は次の５つの条件を満たすように定義する(P. 83)，
\[\begin{equation}
0 \leq m^{\ast}(A) \leq +\infty
\label{eq:11}\tag{C1}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
A \subseteq B \text{ならば} m^{\ast}(A) \leqq m^{\ast}(B)
\label{eq:12}\tag{C2}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
m^{\ast}\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}\right) \leq \sum_{i=1}^{\infty} m^{\ast}\left(A_{i}\right)
\label{eq:13}\tag{C3}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
m^{\ast}([a,b)) = b-a
\label{eq:14}\tag{C4}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
\text{点集合AとBが合同ならば} m^{\ast}(A) = m^{\ast}(B)
\label{eq:15}\tag{C5}
\end{equation}\]
注意点として，Eq.
\[\eqref{eq:13}\]
で直和であることを要求しないことがある．
「なるべく広い範囲の点集合」を考えたい．
ここで，外測度を次のように定義すると上記５つの条件が満たせる．
半開区間の列，
\[\left \{ I_{1},... I_{n},... \right\}\]
に対して，
\[\begin{equation}
m^{\ast}(A):=\inf \left\{ \sum_{n=1}^{\infty} \left|I_{n}\right| : A \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty} I_{n} \right \}
\label{eq:16}\tag{1.1}
\end{equation}\]
1.2. 可測集合 (P.96)
Aを決まった点集合とする．
\[B \subseteq A\]
および
\[B' \subseteq A^{c}\]
であればいつでも，
\[\begin{equation}
m^{\ast}(B \cup B') = m^{\ast}(B) + m^{\ast}(B')
\label{eq:17}\tag{1.2}
\end{equation}\]
が成立するとき，
\[A\]
はルベグ可測であるという．
同値な条件として，
\[X\]
を任意の点集合とする時，
\[A\]
が可測であることは，
\[\begin{equation}
m^{\ast}(B)=m^{\ast}(B \cap A)+m^{\ast}\left(B \cap A^{c}\right)
\label{eq:18}\tag{1.3}
\end{equation}\]
が成立することである． (Eq.
\[\eqref{eq:18}\]
で
\[B=X\cap A, B'= X\cap A^{c}\]
とおく)
可測集合の例を残しておく
1.2.1 可測集合族
\[\begin{equation}
\phi \in \mathcal{M}
\label{eq:121}\tag{M1}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
A \in \mathcal{M} \Longrightarrow A^{c} \in \mathcal{M}
\label{eq:122}\tag{M2}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
A_{n} \in \mathcal{M} \text{ } (n=1,2,...) \text{ならば，} \bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i} \in \mathcal{M}
\label{eq:123}\tag{M3}
\end{equation}\]
可測集合に限らない時，一般に加法的集合族と呼ぶ．
\[\begin{equation}
G\text{が開集合ならば，} G \in \mathcal{M}
\label{eq:124}\tag{M4}
\end{equation}\]
さらに可測集合の場合は次が成り立つ．
例．ボレル集合族
\[\eqref{eq:121}, \eqref{eq:122},\eqref{eq:123},\eqref{eq:124}\]
を満たすあらゆる集合を考え，その交わり(=“最小”のもの)をとった集合族
\[\mathcal{B}\]
．
1.3. ルベグ測度
\[A\]
が可測であるとき，
\[\begin{equation}
m(A) = m^{\ast}(A)
\end{equation}\]
このとき，
\[m(A)\]
を
\[A\]
のルベグ測度と呼ぶ．
\[m(A)\]
は次の条件を満たす．
\[\begin{equation}
0 \leq m(A) \leq +\infty
\label{eq:131}\tag{L1}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
m\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}\right) \leq \sum_{i=1}^{\infty} m\left(A_{i}\right)
\label{eq:132}\tag{L2}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
m([a,b)) = b-a
\label{eq:133}\tag{L3}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
\text{点集合AとBが合同ならば} m(A) = m(B)
\label{eq:134}\tag{L4}
\end{equation}\]
外測度が満たすEq.
\[\eqref{eq:12}\]
について記述がない．
3. ルベグ積分
正値単関数で定理を各種導出し，それらをもとに，正値関数の定理を導出する(正値関数が導出できれば，一般の関数についても導出可能)．
\[\begin{equation}
A=A_{1} \cup A_{2} \cup \cdots \cup A_{k} (i \neq j \text{ then}, A_{i} \cap A_{j}=\varnothing )
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
a_{i}=\inf \left\{f(x) | x \in A_{i}\right\} \quad(i=1,2, \cdots, k)
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
\mathrm{s}=a_{1} m\left(A_{1}\right)+a_{2} m\left(A_{2}\right)+\cdots+a_{k} m\left(A_{k}\right)
\end{equation}\]
\[\mathcal{s}\]
を
\[f\]
の
\[A\]
における近似和と呼ぶ．
\[A\]
のあらゆる分割
\[\left\{A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{k}\right\}\]
について近似和をつくる． これらの集合を
\[\langle \mathcal{s} \rangle\]
と表す．
ここでルベーグ積分の定義は，
\[\begin{equation}
\int_{A} f(x) d x=\sup \langle \mathcal{s}\rangle
\end{equation}\]
である．
3.2 Fatouの定理 (P. 168)
\[\begin{equation}
\int_{A} \displaystyle \varliminf_{n} f_{n} (x) dx \leqq \displaystyle \varliminf_{n} \int_{A} f_{n}(x) dx
\end{equation}\]
3.y ルベグ積分とリーマン積分との関係
どういった状況で積分可能か？の例